En avgörande genombrott inom geometrisk måtteori har nyligen inträffat när matematiker löste Kakeya-förmodan i tre dimensioner, ett problem som förbryllat experter i över ett sekel. Hong Wang från New York Universitys Courant Institute och Joshua Zahl från University of British Columbia har tillsammans presenterat ett bevis som matematiker världen över hyllar som ett av 2000-talets främsta matematiska framsteg.
Den historiska bakgrunden till Kakeya-förmodan
Kakeya-förmodan härstammar från ett problem som formulerades 1917 av den japanska matematikern Sōichi Kakeya. Han ställde den till synes enkla frågan: Vilken är den minsta möjliga ytan där man kan rotera en nål 180 grader i planet?12 Sådana områden kom att kallas Kakeya-nålmängder.
I två dimensioner visade det sig att denna fråga hade ett överraskande svar. 1919 demonstrerade den ryska matematikern Abram Besicovitch att det faktiskt är möjligt att rotera nålen i ett område med nollmått genom clever matematisk manipulation.8 Detta kontraintuitiva resultat väckte större intresse för problemet i högre dimensioner.
I tre dimensioner blir frågan ännu mer komplicerad. Här handlar Kakeyas problem om en tredimensionell ”nål” som måste kunna orienteras i alla möjliga riktningar inom ett begränsat utrymme.5 Den grundläggande frågan är hur ”liten” en sådan mängd kan vara.
Ett betydande framsteg gjordes 1995 när matematikern Thomas Wolff bevisade att tredimensionella Kakeya-mängder inte kan ha Hausdorff-dimension under 2,5.815 Detta lade grunden för Wang och Zahls slutgiltiga lösning.
Problemets betydelse inom matematiken
Kakeya-förmodan är inte bara ett isolerat geometriskt pussel utan har djupa kopplingar till flera matematiska områden, särskilt harmonisk analys.45 Problemet är grundläggande för en ”hierarki” av förmodanden inom matematiken.
Enligt fältmedaljören Terence Tao vilar hela tre monumentala förmodanden inom harmonisk analys ovanpå Kakeya-förmodan.5 Om Kakeya-förmodan hade visat sig vara falsk, skulle hela denna struktur ha fallit samman. Nu när förmodan bevisats sann, öppnas vägen för att möjligen lösa dessa större förmodanden.
Eyal Lubetzky, ordförande för matematikavdelningen vid Courant Institute, beskriver detta framsteg som ”en av 2000-talets främsta matematiska prestationer”.1 Professor Guido De Philippis tillägger att ”detta är ett underbart stycke matematik” som följer år av framsteg inom förståelsen av komplicerad geometri och tar den till en ny nivå.1
Wang och Zahls genombrott
Wang och Zahl publicerade sitt bevis på arXiv-servern i februari 2025.110 Deras arbete bygger på flera års forskning där de gradvis närmade sig en fullständig lösning.
Ett kritiskt genombrott kom 2022 när paret löste ett särskilt fall av förmodan – det så kallade ”sticky”-fallet.6 Ett ”sticky” set inom Kakeya-teorin är en mängd där linjesegment som pekar i närliggande riktningar också måste vara nära varandra. Wang och Zahl bevisade att en ”sticky” Kakeya-mängd i tre dimensioner måste ha Hausdorff- och Minkowski-dimension tre – alltså uppfylla förmodan.6
För att slutföra beviset behövde de sedan analysera de återstående fallen – ”grainy” och ”planey” men icke-”sticky” fall – och jämföra deras egenskaper på olika skalor för att möjligen fastställa en motsägelse.6
Bevisets metod och teknisk ingång
Wang och Zahls angreppssätt var att gå stegvis. De började med att undersöka ett smalt intervall av Minkowski-dimensioner – till exempel 2,5 till 2,6 – och försökte visa att ingen Kakeya-mängd kunde befinna sig i det intervallet.5 Om de kunde bevisa detta för varje intervall upp till tre, skulle de ha bevisat Kakeya-förmodan.
Deras lösning använder en avancerad teknik kallad ”induction on scales” (induktion på skalor).1015 Istället för att behöva bevisa varje litet dimension-inkrement ett i taget, behövde de bara bevisa det första inkrementet, så länge de kunde visa att en gräns implicerar nästa, något större gräns.5
Terence Tao beskriver denna process som ”magisk” – ”Det är som att perfekta en evighetsmaskin. De får mer ut än vad de stoppar in.”5 Denna induktiva metod tog dem hela vägen till Minkowski-dimension tre, vilket bevisar Kakeya-förmodan i tre dimensioner.
Konsekvenser för matematiken och tillämpningar
Lösningen av Kakeya-förmodan har betydande konsekvenser för flera matematiska fält, särskilt harmonisk analys, som studerar detaljerna i Fourier-transformationer.5
Professor De Philippis påpekar att ”detta resultat är inte bara ett stort genombrott inom geometrisk måtteori, utan det öppnar också för en serie spännande utvecklingar inom harmonisk analys, talteori och tillämpningar inom datavetenskap och kryptografi.”1
Insikterna från denna forskning har potential att påverka områden som signalbehandling och dataöverföring. Förståelsen för hur ”tubintersektioner” beter sig i tredimensionellt rum är avgörande för att förstå interaktionerna mellan vågpaket – regioner där elektromagnetiska vågor är koncentrerade.4 Denna kunskap är fundamental för framsteg inom dataöverföring och signalbehandling.
Matematikerna bakom genombrottet
Hong Wang är en kinesisk matematiker från Guilin som fick sin grundexamen från Peking University och doktorsexamen från MIT.313 Hon var tidigare assistent-professor vid UCLA innan hon anslöt sig till NYU:s fakultet 2023.3
Joshua Zahl har en kandidatexamen från California Institute of Technology samt masters- och doktorsexamen från UCLA.3 Han har varit anställd vid UBC sedan 2016.3
Deras samarbete är ett exempel på den internationella karaktären av matematisk forskning, där matematiker från olika bakgrunder bidrar med sina unika perspektiv för att lösa komplexa problem.4
Slutsatser och framtida forskning
Wang och Zahls lösning av Kakeya-förmodan i tre dimensioner representerar ett viktigt steg framåt inom matematikens värld, men det öppnar också för nya frågor och forskningsriktningar.
Wang har redan medförfattat en separat artikel som reducerar nästa förmodan i hierarkin till en starkare version av Kakeya-förmodan, ett steg mot att överbrygga de två nivåerna.5 Detta tyder på att lösningen redan börjar generera ytterligare framsteg inom harmonisk analys.
Kakeya-förmodan i högre dimensioner än tre förblir olöst, och det återstår att se om teknikerna som utvecklats av Wang och Zahl kan anpassas för att lösa dessa fall.
Sammanfattningsvis markerar lösningen av den tredimensionella Kakeya-förmodan en betydande milstolpe i matematiken och illustrerar de intrikata kopplingarna mellan olika studieområden. När forskare bygger vidare på detta grundläggande resultat för att låsa upp ytterligare insikter om matematikens komplexitet, kommer arvet efter Kakeya-förmodan att fortsätta att resonera genom matematisk forskning under kommande år.
Citations:
- https://phys.org/news/2025-03-mathematicians-needle-kakeya-conjecture-decades.html
- https://lifeboat.com/blog/2025/03/mathematicians-move-the-needle-on-the-kakeya-conjecture-a-decades-old-geometric-problem
- https://math.nyu.edu/dynamic/news/84/
- https://www.forwardpathway.us/the-history-and-impact-of-kakeya-conjecture
- https://www.quantamagazine.org/once-in-a-century-proof-settles-maths-kakeya-conjecture-20250314/
- https://www.iflscience.com/once-in-a-century-math-proof-threads-the-needle-on-a-decades-old-conjecture-78440
- https://www.math.ucla.edu/~tongouyang/MPhil_Thesis.pdf
- http://www.iflscience.com/once-in-a-century-math-proof-threads-the-needle-on-a-decades-old-conjecture-78440
- https://arxiv.org/pdf/2503.11574.pdf
- https://terrytao.wordpress.com/tag/induction-on-scales/
- https://bookstopology.substack.com/p/breakthrough-in-geometric-measure
- https://www.math.ubc.ca/news-events/news/mar-4-2025-josh-zahl-and-hong-wang-prove-kakeya-conjecture-three-dimensions
- https://www.scmp.com/news/china/science/article/3300958/chinese-maths-star-wang-hong-solves-infamous-geometry-problem
- https://www.reddit.com/r/mathematics/comments/1ja57ml/mathematicians_have_moved_the_needle_on_the/
- https://terrytao.wordpress.com/2025/02/25/the-three-dimensional-kakeya-conjecture-after-wang-and-zahl/
Answer from Perplexity: pplx.ai/share
